DASAR-DASAR TRIGONOMETRI

      Dasar-dasar Trigonometri

TRIGONOMETRI;
   
      Metode dalam perhitungan untuk menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan perbandinganperbandingan
pada bangun geometri, khususnya
dalam bangun yang berbentuk segitiga.
Merupakan salah satu ilmu yang berhubungan
dengan besar sudut, dimana bermanfaat untuk
menghitung ketinggian suatu tempat tanpa
mengukur secara langsung sehingga bersifat lebih
praktis dan efisien.
      
     Cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang
perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila
ditinjau dari salah satu sudut yang terdapat pada
segitiga tersebut.
     Dasar trigonometri part 1
Matematika – Trigonometri – Landasan teori
Sebelum kita membahas trigonometri secara lanjut ada baiknya kita membahas landasan teori trigonometri
Landasan teori
sin α = y cosec α = 1
r sin α
cos α = x sec α = 1
r cos α
tan α = y cotan α = 1
x tan α
dengan memahami landasan teori ini, maka kita dapat memahami, menggunakan dan mengembangkannya menjadi rumus penjumlahan sudut, rumus trigonometri sudut rangkap, rumus trigonometri sudut pertengahan, rumus perkalian sinus dan cosinus, serta rumus penjumlahan sinus dan cosinus.
di bangku pendidikan kita diajarkan cara mudah untuk mengingat rumus dasar tersebut, yaitu: demi suami di desa, dimana
demi adalah depan dan miring (sin),
suami disamarkan menjadi sami adalah samping dan miring (cos)dan
desa adalah depan dan samping (tan).
      Dasar trigonometri part 2
Matematika – Trigonometri – Sudut istimewa
dalam menentukan nilai dari fungsi trigonometri kita dapat menggunakan banyak cara, diantaranya :
menggunakan tabel fungsi trigonometri,
menggunakan kalkulator, dan
menggunakan sudut istimewa pada fungsi trigonometri.
penggunaan tabel fungsi trigonometri berguna pada saat kita menyelesaikan soal dengan sudut sembarang antara 0,00 hingga 90,00 dengan ketelitian yang cukup tinggi, sedangkan penggunaan kalkulator berguna pada saat kita memeriksa hasil dari usaha dalam menyelesaikan soal diatas tapi didalam UAN dan SPMB jarang sekali diperbolehkan menggunakan keduanya. penggunaan sudut istimewa sangat sering digunakan pada kedua ujian tersebut.
dengan memanfaatkan sudut istimewa pada fungsi trigonometri maka kita bisa mendapatkan nilai fungsi secara cepat, sudut-sudut tersebut ialah :
nilai-nilai tersebut didapat dari permisalan berikut :
contoh penggunaan gambar diatas sebagai berikut :
nilai dari sin 30 adalah …
seperti kita ketahui bahwa sin adalah depan bagi miring, maka 1 ÷ 2 = ½.
nilai dari cos 30 adalah …
cos adalah samping bagi miring, maka √3 ÷ 2 = ½ √3
     Dasar trigonometri part 3
Matematika – Trigonometri – Konversi sudut
jika nilai sudut berada diluar kisaran 0 sampai 90 maka kita dapat menyederhanakannya dengan menggunakan aturan sebagai berikut :
jika sudut berada pada kisaran 90 sampai 180, maka
α = ( 180 – α )
jika sudut berada pada kisaran 180 sampai 270, maka
α = ( α – 180 )
jika sudut berada pada kisaran 270 sampai 360 maka
α = ( 360 – α )
   
       kita juga dapat menggunakan aturan pencerminan, dimana garis horizontalnya dapat dijadikan sebagai patokan. agar lebih memahami perhatikan gambar berikut :
contoh penggunaan gambar diatas sebagai berikut :
s: jika sudut yang diketahui adalah 150, maka sudut tersebut dapat disederhanakan menjadi …
j: selisih dari 180 dengan 150 adalah 30, maka hasil penyederhanaannya adalah 30.
s: jika sudut yang diketahui adalah 225, maka sudut tersebut dapat disederhanakan menjadi …
j: selisih dari 180 dengan 225 adalah 45, maka hasil penyederhanaannya adalah 45.
s: jika sudut yang diketahui adalah 300, maka sudut tersebut dapat disederhanakan menjadi …
j: selisih dari 360 dengan 300 adalah 60, maka hasil penyederhanaannya adalah 60.
     aturan pencerminan digunakan pada saat kita lupa dengan 3 aturan penyederhanaan tersebut, karena pada prinsipnya kedua aturan tersebut sama tapi aturan pencerminan dibantu dengan gambar supaya mudah diingat.
       Dasar trigonometri part 4
Matematika – Trigonometri – sifat fungsi terhadap kuadran
setelah sudut disederhanakan, kita juga mesti memerhatikan sifat fungsi terhadap kuadran posisi ia berada. perhatikan gambar berikut :
pada kuadran I ( besar sudut antara 0 sampai 90 ), semua fungsi bernilai positif,
pada kuadran II ( besar sudut antara 90 sampai 180 ), fungsi sin bernilai positif yang lain negatif,
pada kuadran III ( besar sudut antara 180 sampai 270 ), fungsi tan bernilai positif yang lain negatif,
pada kuadran IV ( besar sudut antara 270 sampai 360 ), fungsi cos bernilai positif yang lain negatif.
agar lebih memahami, perhatikan contoh berkut :
s: berapa nilai dari cos 120 ?
j: cos 120
cos (180 – 120 ) _______( i )
– cos 60 _____________( ii )
– ½ ________________( iii )
keterangan
( i ) menggunakan konversi sudut.
( ii ) menggunakan sifat fungsi terhadap kuadran.
( iii ) menggunakan sudut istimewa.
    Dasar trigonometri part 5
Matematika – Trigonometri – Rumus penjumlahan dan pengurangan 2 sudut
untuk menjumlahkan 2 sudut dalam satu fungsi seperti :
sin ( α + β )
cos ( α + β )
tan ( α + β )
dapat menggunakan rumus penjumlahan sebagai berikut :
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β
tan ( α + β ) = tan α + tan β
1 – tan α tan β
dan untuk mengurangkan 2 sudut dalam satu fungsi seperti :
sin ( α – β )
cos ( α – β )
tan ( α – β )
dapat menggunakan rumus pengurangan sebagai berikut :
sin ( α – β ) = sin α cos β – cos α sin β
cos ( α – β ) = cos α cos β + sin α sin β
tan ( α – β ) = tan α – tan β
1 + tan α tan β
kalau kita lihat kedua aturan diatas memiliki kesamaan dan hanya dibedakan tanda plus dan minus, berarti kita hanya perlu mengingat aturan penjumlahan saja dan secara otomatis kita dapat mengingat rumus pengurangannya.
agar kita dapat lebih memahami aturan penjumlahan dan pengurangan, ada baiknya kita mengetahui bagaimana cara mendapatkan aturan tersebut. cara tersebut dapat dilihat diberbagai buku cetak pelajaran.
    Dasar trigonometri part 6
Matematika – Trigonometri – rumus trigonometri sudut rangkap
untuk memahami rumus ini, ada baiknya kita mengingat kembali rumus penjumlahan sudut dimana
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β
tan ( α + β ) = tan α + tan β
1 – tan α tan β
langkah selanjutnya kita mengganti variabel b dengan a, maka akan kita dapati rumus sudut rangkap sebagai berikut :
sin ( α + α ) = sin α cos α + cos α sin α
sin ( 2 α ) = 2 sin α cos α
cos ( α + α ) = cos α cos α – sin α sin α
cos ( 2 α ) = cos² α – sin² α
tan ( α + α ) = tan α + tan α
1 – tan α tan α
tan ( 2 α ) = 2 tan α
1 – tan² α
     Dasar trigonometri part 7
Matematika – Trigonometri – rumus trigonometri sudut pertengahan
setelah mendapatkan rumus trigonometri sudut rangkap dari pengembangan rumus penjumlahan sudut, dan sekarang kita mengembangkan rumus trigonometri sudut rangkap menjadi rumus sudut pertengahan, adapun langkah dari pengembangan tersebut dapat dilihat dari buku cetak matematika.
sin ½α = / 1 – cos α
√ 2
cos ½α = / 1 + cos α
√ 2
tan ½α = / 1 – cos α
√ 1 + cos α
bentuk lain dari rumus tan ½α
tan ½α = sin α
1 + cos α
tan ½α = 1 – cos α
sin α
       Dasar trigonometri part 8
Matematika – Trigonometri – rumus perkalian sinus dan kosinus
sekarang kita akan mempelajari bagaimana mengalikan fungsi trigonometri, pada dasarnya rumus ini hasil pengembangan dari rumus penjumlahan sudut dengan cara eliminasi atau bisa juga dengan cara substitusi, seperti biasa cara pengembangannya dapat dilihat dibuku cetak matematika
sin α cos β = ½ { sin ( α + β ) + sin ( α – β ) }
cos α sin β = ½ { sin ( α + β ) – sin ( α – β ) }
cos α cos β = ½ { cos ( α + β ) + cos ( α – β ) }
sin α sin β = – ½ { cos ( α + β ) – cos ( α – β ) }
       Dasar trigonometri part 9
Matematika – Trigonometri – rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus
rumus ini berbeda dengan rumus penjumlahan sudut, karena disini yang dijumlahkan bukan sudut melainkan fungsi trigonometri. rumus ini dapat kita kembangkan dari rumus perkalian sinus dan cosinus, seperti biasa proses pengembangan rumus dapat dilihat dari buku cetak matematika
sin α + sin β = 2 sin ½ ( α + β ) cos ½ ( α – β )
sin α – sin β = 2 cos ½ ( α + β ) sin ½ ( α – β )
cos α + cos β = 2 cos ½ ( α + β ) cos ½ ( α – β )
cos α – cos β = – 2 sin ½ ( α + β ) sin ½ ( α – β )