RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI

  RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI


PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b)

sin(a + b)  = sin a cos b + cos a sin b
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b
tg(a + b )   = tg a + tg b
                 1 - tg²a

SELISIH DUA SUDUT (a - b)

sin(a - b)  = sin a cos b - cos a sin b
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
tg(a - b )   = tg a - tg b
                 1 + tg²a

SUDUT RANGKAP

sin 2a  = 2 sin a cos a
cos 2a = cos²a - sin² a
= 2 cos²a - 1
= 1 - 2 sin²a
tg 2a  =  2 tg 2a 
            1 - tg²a
sin a cos a = ½ sin 2a
cos²a = ½(1 + cos 2a)
sin2a  = ½ (1 - cos 2a)

Secara umum :

sin na  = 2 sin ½na cos ½na
cos na = cos² ½na - 1
= 2 cos² ½na - 1
= 1 - 2 sin² ½na
tg na =   2 tg ½na  
           1 - tg² ½na

JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA


BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN

sin a + sin b   = 2 sin a + b    cos a - b
                                2              2
sin a - sin b   = 2 cos a + b    sin a - b
                                2             2
cos a + cos b = 2 cos a + b    cos a - b
                                 2              2
cos a + cos b = - 2 sin a + b   sin a - b
                                  2             2

BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN

2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)

PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA

Bentuk a cos x + b sin x

Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a)

a cos x + b sin x = K cos (x-a)

dengan :                     
             K = Öa² + b² dan tg a = b/a Þ a = ... ?

Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut

	I	II	III	IV
a	+	-	-	+
b	+	+	-	-

keterangan :
a = koefisien cos x
b = koefisien sin x

PERSAMAAN
I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°
                         x2 = (180° - a) + n.360°



    cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°


tg x = tg a Þ x = a + n.180°    (n = bilangan bulat)

II. a cos x + b sin x = c
     a cos x + b sin x = C
            K cos (x-a) = C
               cos (x-a) = C/K
     syarat persamaan ini dapat diselesaikan
     -1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar)

misalkan C/K = cos b
  cos (x - a) = cos b
        (x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360°

»»  READMORE...

DASAR-DASAR TRIGONOMETRI

      Dasar-dasar Trigonometri

TRIGONOMETRI;
   
      Metode dalam perhitungan untuk menyelesaikan
masalah yang berkaitan dengan perbandinganperbandingan
pada bangun geometri, khususnya
dalam bangun yang berbentuk segitiga.
Merupakan salah satu ilmu yang berhubungan
dengan besar sudut, dimana bermanfaat untuk
menghitung ketinggian suatu tempat tanpa
mengukur secara langsung sehingga bersifat lebih
praktis dan efisien.
      
     Cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang
perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila
ditinjau dari salah satu sudut yang terdapat pada
segitiga tersebut.
     Dasar trigonometri part 1
Matematika – Trigonometri – Landasan teori
Sebelum kita membahas trigonometri secara lanjut ada baiknya kita membahas landasan teori trigonometri
Landasan teori
sin α = y cosec α = 1
r sin α
cos α = x sec α = 1
r cos α
tan α = y cotan α = 1
x tan α
dengan memahami landasan teori ini, maka kita dapat memahami, menggunakan dan mengembangkannya menjadi rumus penjumlahan sudut, rumus trigonometri sudut rangkap, rumus trigonometri sudut pertengahan, rumus perkalian sinus dan cosinus, serta rumus penjumlahan sinus dan cosinus.
di bangku pendidikan kita diajarkan cara mudah untuk mengingat rumus dasar tersebut, yaitu: demi suami di desa, dimana
demi adalah depan dan miring (sin),
suami disamarkan menjadi sami adalah samping dan miring (cos)dan
desa adalah depan dan samping (tan).
      Dasar trigonometri part 2
Matematika – Trigonometri – Sudut istimewa
dalam menentukan nilai dari fungsi trigonometri kita dapat menggunakan banyak cara, diantaranya :
menggunakan tabel fungsi trigonometri,
menggunakan kalkulator, dan
menggunakan sudut istimewa pada fungsi trigonometri.
penggunaan tabel fungsi trigonometri berguna pada saat kita menyelesaikan soal dengan sudut sembarang antara 0,00 hingga 90,00 dengan ketelitian yang cukup tinggi, sedangkan penggunaan kalkulator berguna pada saat kita memeriksa hasil dari usaha dalam menyelesaikan soal diatas tapi didalam UAN dan SPMB jarang sekali diperbolehkan menggunakan keduanya. penggunaan sudut istimewa sangat sering digunakan pada kedua ujian tersebut.
dengan memanfaatkan sudut istimewa pada fungsi trigonometri maka kita bisa mendapatkan nilai fungsi secara cepat, sudut-sudut tersebut ialah :
nilai-nilai tersebut didapat dari permisalan berikut :
contoh penggunaan gambar diatas sebagai berikut :
nilai dari sin 30 adalah …
seperti kita ketahui bahwa sin adalah depan bagi miring, maka 1 ÷ 2 = ½.
nilai dari cos 30 adalah …
cos adalah samping bagi miring, maka √3 ÷ 2 = ½ √3
     Dasar trigonometri part 3
Matematika – Trigonometri – Konversi sudut
jika nilai sudut berada diluar kisaran 0 sampai 90 maka kita dapat menyederhanakannya dengan menggunakan aturan sebagai berikut :
jika sudut berada pada kisaran 90 sampai 180, maka
α = ( 180 – α )
jika sudut berada pada kisaran 180 sampai 270, maka
α = ( α – 180 )
jika sudut berada pada kisaran 270 sampai 360 maka
α = ( 360 – α )
   
       kita juga dapat menggunakan aturan pencerminan, dimana garis horizontalnya dapat dijadikan sebagai patokan. agar lebih memahami perhatikan gambar berikut :
contoh penggunaan gambar diatas sebagai berikut :
s: jika sudut yang diketahui adalah 150, maka sudut tersebut dapat disederhanakan menjadi …
j: selisih dari 180 dengan 150 adalah 30, maka hasil penyederhanaannya adalah 30.
s: jika sudut yang diketahui adalah 225, maka sudut tersebut dapat disederhanakan menjadi …
j: selisih dari 180 dengan 225 adalah 45, maka hasil penyederhanaannya adalah 45.
s: jika sudut yang diketahui adalah 300, maka sudut tersebut dapat disederhanakan menjadi …
j: selisih dari 360 dengan 300 adalah 60, maka hasil penyederhanaannya adalah 60.
     aturan pencerminan digunakan pada saat kita lupa dengan 3 aturan penyederhanaan tersebut, karena pada prinsipnya kedua aturan tersebut sama tapi aturan pencerminan dibantu dengan gambar supaya mudah diingat.
       Dasar trigonometri part 4
Matematika – Trigonometri – sifat fungsi terhadap kuadran
setelah sudut disederhanakan, kita juga mesti memerhatikan sifat fungsi terhadap kuadran posisi ia berada. perhatikan gambar berikut :
pada kuadran I ( besar sudut antara 0 sampai 90 ), semua fungsi bernilai positif,
pada kuadran II ( besar sudut antara 90 sampai 180 ), fungsi sin bernilai positif yang lain negatif,
pada kuadran III ( besar sudut antara 180 sampai 270 ), fungsi tan bernilai positif yang lain negatif,
pada kuadran IV ( besar sudut antara 270 sampai 360 ), fungsi cos bernilai positif yang lain negatif.
agar lebih memahami, perhatikan contoh berkut :
s: berapa nilai dari cos 120 ?
j: cos 120
cos (180 – 120 ) _______( i )
– cos 60 _____________( ii )
– ½ ________________( iii )
keterangan
( i ) menggunakan konversi sudut.
( ii ) menggunakan sifat fungsi terhadap kuadran.
( iii ) menggunakan sudut istimewa.
    Dasar trigonometri part 5
Matematika – Trigonometri – Rumus penjumlahan dan pengurangan 2 sudut
untuk menjumlahkan 2 sudut dalam satu fungsi seperti :
sin ( α + β )
cos ( α + β )
tan ( α + β )
dapat menggunakan rumus penjumlahan sebagai berikut :
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β
tan ( α + β ) = tan α + tan β
1 – tan α tan β
dan untuk mengurangkan 2 sudut dalam satu fungsi seperti :
sin ( α – β )
cos ( α – β )
tan ( α – β )
dapat menggunakan rumus pengurangan sebagai berikut :
sin ( α – β ) = sin α cos β – cos α sin β
cos ( α – β ) = cos α cos β + sin α sin β
tan ( α – β ) = tan α – tan β
1 + tan α tan β
kalau kita lihat kedua aturan diatas memiliki kesamaan dan hanya dibedakan tanda plus dan minus, berarti kita hanya perlu mengingat aturan penjumlahan saja dan secara otomatis kita dapat mengingat rumus pengurangannya.
agar kita dapat lebih memahami aturan penjumlahan dan pengurangan, ada baiknya kita mengetahui bagaimana cara mendapatkan aturan tersebut. cara tersebut dapat dilihat diberbagai buku cetak pelajaran.
    Dasar trigonometri part 6
Matematika – Trigonometri – rumus trigonometri sudut rangkap
untuk memahami rumus ini, ada baiknya kita mengingat kembali rumus penjumlahan sudut dimana
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β
tan ( α + β ) = tan α + tan β
1 – tan α tan β
langkah selanjutnya kita mengganti variabel b dengan a, maka akan kita dapati rumus sudut rangkap sebagai berikut :
sin ( α + α ) = sin α cos α + cos α sin α
sin ( 2 α ) = 2 sin α cos α
cos ( α + α ) = cos α cos α – sin α sin α
cos ( 2 α ) = cos² α – sin² α
tan ( α + α ) = tan α + tan α
1 – tan α tan α
tan ( 2 α ) = 2 tan α
1 – tan² α
     Dasar trigonometri part 7
Matematika – Trigonometri – rumus trigonometri sudut pertengahan
setelah mendapatkan rumus trigonometri sudut rangkap dari pengembangan rumus penjumlahan sudut, dan sekarang kita mengembangkan rumus trigonometri sudut rangkap menjadi rumus sudut pertengahan, adapun langkah dari pengembangan tersebut dapat dilihat dari buku cetak matematika.
sin ½α = / 1 – cos α
√ 2
cos ½α = / 1 + cos α
√ 2
tan ½α = / 1 – cos α
√ 1 + cos α
bentuk lain dari rumus tan ½α
tan ½α = sin α
1 + cos α
tan ½α = 1 – cos α
sin α
       Dasar trigonometri part 8
Matematika – Trigonometri – rumus perkalian sinus dan kosinus
sekarang kita akan mempelajari bagaimana mengalikan fungsi trigonometri, pada dasarnya rumus ini hasil pengembangan dari rumus penjumlahan sudut dengan cara eliminasi atau bisa juga dengan cara substitusi, seperti biasa cara pengembangannya dapat dilihat dibuku cetak matematika
sin α cos β = ½ { sin ( α + β ) + sin ( α – β ) }
cos α sin β = ½ { sin ( α + β ) – sin ( α – β ) }
cos α cos β = ½ { cos ( α + β ) + cos ( α – β ) }
sin α sin β = – ½ { cos ( α + β ) – cos ( α – β ) }
       Dasar trigonometri part 9
Matematika – Trigonometri – rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus
rumus ini berbeda dengan rumus penjumlahan sudut, karena disini yang dijumlahkan bukan sudut melainkan fungsi trigonometri. rumus ini dapat kita kembangkan dari rumus perkalian sinus dan cosinus, seperti biasa proses pengembangan rumus dapat dilihat dari buku cetak matematika
sin α + sin β = 2 sin ½ ( α + β ) cos ½ ( α – β )
sin α – sin β = 2 cos ½ ( α + β ) sin ½ ( α – β )
cos α + cos β = 2 cos ½ ( α + β ) cos ½ ( α – β )
cos α – cos β = – 2 sin ½ ( α + β ) sin ½ ( α – β )

»»  READMORE...

AWAL MULA TRIGONOMETRI

AWALMULA TRIGONOMETRI

     Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
     
     Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.
  
  Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.
  
     Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalambahasa Inggris dan Perancis.

»»  READMORE...

perkembangan tekhnologi

Sejarah Teknologi Informasi

<

SEKILAS TEKNOLOGI INFORMASI

Manusia adalah mahluk sosial, disamping Sandang, pangan, dan Papan sebagai

kebutuhan utamanya, maka sebagai mahluk sosial manusia membutuhkan untuk berkomunikasi diantara sesamanya sebagai kebutuhan utamanya untuk dapat saling berhubungan satu dengan yang lainnya.

Maka mulailah manusia mencari dan menciptakan sistem dan alat untuk saling berhubungan tersebut, mulai dari melukis bentuk (menggambar) di dinding gua, isyarat tangan, isyarat asap, isyarat bunyi, huruf, kata, kalimat, tulisan, surat, sampai dengan telepon dan internet.

Alat dan Sistem komunikasi yang diciptakan manusia tersebut kemudian dikenal dengan nama Teknologi Informasi atau yang lebih dikenal dengan istilah
” IT ” (dibaca ai-ti), singkatan dari Information Technology (eng).

Pada halaman-halaman berikutnya kita bersama-sama akan menyimak perjalanan IT dari masa ke masa, mengenali alat dan teknologi IT, serta mempelajari teknologi terbaru dari IT yaitu Internet

SEJARAH TEKNOLOGI INFORMASI

Perkembangan peradaban manusia diiringi dengan perkembangan cara penyampaian
informasi (yang selanjutnya dikenal dengan istilah Teknologi Informasi). Mulai dari gambar-gambar yang tak bermakna di dinding-dinding gua, peletakkan tonggak sejarah dalam bentuk prasasti sampai diperkenalkannya dunia arus informasi yang kemudian dikenal dengan nama INTERNET.
Informasi yang disampaikan pun berkembang. Dari sekedar menggambarkan keadaan sampai taktik bertempur.

Pada awalnya Teknologi Informasi yang dikembangkan manusia pada masa ini berfungsi sebagai sistem untuk pengenalan bentuk-bentuk yang mereka kenal, mereka menggambarkan informasi yang mereka dapatkan pada dinding-dinding gua, tentang berburu dan binatang buruannya. Pada masa ini mereka mulai melakukan pengidentifikasian benda-benda yang ada disekitar lingkungan mereka tinggal dan mewakilinya dengan bentuk-bentuk yang kemudian mereka lukis pada dinding gua tempat mereka tinggal, karena kemampuan mereka dalam berbahasa hanya berkisar pada bentuk suara dengusan dan isyarat tangan sebagai bentuk awal komunikasi mereka pada masa ini.

Masa Pra-Sejarah (...s/d 3000 SM)
Perkembangan selanjutnya adalah diciptakan dan digunakannya alat-alat yang menghasilkan bunyi dan isyarat, seperti gendang, terompet yang terbuat dari tanduk binatang, isyarat asap sebagai alat pemberi peringatan terhadap bahaya.

Masa Sejarah (3000 SM s/d 1400-an M)
Pada masa ini Teknologi Informasi belum menjadi teknologi masal seperti yang kita kenal sekarang ini, teknologi informasi masih digunakan oleh kalangan-kalangan terbatas saja, digunakan pada saat-saat khusus, dan mahal!

3000 SM
Untuk yang pertama kali tulisan digunakan oleh bangsa sumeria dengan menggunakan simbol-simbol yang dibentuk dari pictograf sebagai huruf.
Simbol atau huruf-huruf ini juga mempunyai bentuk bunyi yang berbeda(penyebutan), sehingga mampu menjadi kata, kalimat dan bahasa.

2900 SM
Penggunakan Huruf Hierogliph pada bangsa Mesir Kuno
Hierogliph merupakan bahasa simbol dimana setiap ungkapan di wakili oleh simbol yang berbeda, yang ketifka digabungkan menjadi satu akan mempunyai cara pengucapan dan arti yang berbeda, bentuk tulisan dan bahasa hierogliph ini lebih maju dibandingkan dengan tulisan bangsa Sumeria

500 SM
Serat Papyrus digunakan sebagai kertas
Kertas yang terbuat dari serat pohon papyrus yang tumbuh disekitar sungai nil ini menjadi media menulis/media informasi yang lebih kuat dan fleksibel dibandingkan dengan lempengan tanah liat yang sebelumnya digunakan sebagai media informasi.

105 M
Bangsa Cina menemukan Kertas
Kertas yang ditemukan oleh bangsa Cina pada masa ini adalah kertas yang kita kenal sekarang, kertas ini dibuat dari serat bambu yang dihaluskan, disaring,dicuci kemudian diratakan dan dikeringkan, penemuan ini juga memungkinkan sistem pencetakan yang dilakukan dengan menggunakan blok kayu yang ditoreh dan dilumuri oleh tinta atau yang kita kenal sekarang dengan sistem Cap.

Tahun 1455
Mesin Cetak yang menggunakan plat huruf yang tebuat dari besi yang bisa diganti-ganti dalam bingkai yang tebuat dari kayu dikembangkan untuk yang pertama kalinya oleh Johann Gutenberg.

Tahun 1830
Augusta Lady Byron Menulis program komputer yang pertama didunia berkerjasama dengan Charles Babbage menggunakan mesin Analytical-nya. Yang didesain mampu memasukan data, mengolah data dan menghasilkan bentuk keluaran dalam sebuah kartu. Mesin ini dikenal sebagai bentuk komputer digital yang pertama walaupun cara kerjanya lebih bersifat mekanis daripada bersifat digital, 94 tahun sebelum komputer digital pertama ENIAC I dibentuk

Tahun 1837
Samuel Morse mengembangkan Telegraph dan bahasa kode Morse bersama Sir William Cook dan Sir Charles Wheatstone yang dikirim secara elektronik antara 2 tempat yang berjauhan melalui kabel yang menghubungkan kedua tempat tersebut. Pengiriman dan Penerimaan Informasi ini mampu dikirim dan diterima pada saat yang hampir bersamaan waktunya. Penemuan ini memungkinkan informasi dapat diterima dan dipergunakan secara luas oleh masyarakat tanpa dirintangi oleh jarak dan waktu.

Tahun 1861
Gambar bergerak yang peroyeksikan kedalam sebuah layar pertama kali di gunakan sebagai cikal bakal film sekarang.

Tahun 1876
Melvyl Dewey mengembangkan sitem penulisan Desimal.

Tahun 1877
a. Alexander Graham Bell menciptakan dan mengembangkan Telepon yang dipergunakan pertama kali secara umum.
b. Fotografi dengan kecepatan tinggi ditemukan oleh Edweard Maybridge.

Tahun 1899
Dipergunakan sistem penyimpanan dalam Tape (pita) Magnetis yang pertama.

Tahun 1923
Zvorkyn menciptakan tabung TV yang pertama.

Tahun 1940
Dimulainya pengembangan Ilmu Pengetahuan dalam bidang Informasi pada masa Perang Dunia 2 yang dipergunakan untuk kepentingan pengiriman dan penerimaan dokumen-dokumen militer yang disimpan dalam bentuk magnetic tape.

Tahun 1945
Vannevar Bush mengembangkan sistem pengkodean menggunakan Hypertext.

Tahun 1946
Komputer digital pertama didunia ENIAC I dikembangkan.

Tahun 1948
Para peneliti di Bell Telephone mengembangkan Transistor.

Tahun 1957
- Jean Hoerni mengembangkan transistor Planar. Teknologi ini memungkinkan pengembangan jutaan bahkan milyaran transistor dimasukan kedalam sebuah keping kecil kristal silikon.
- USSR (Rusia pada saat itu) meluncurkan sputnik sebagai satelit bumi buatan yang pertama yang bertugas sebagai mata-mata. Sebagai balasannya Amerika membentuk Advance Research Projects Agency (ARPA) dibawah kewenangan Departemen Pertahanan Amerika untuk mengembangkan ilmu Pengetahuan dan Teknologi Informasi dalam bidang Militer.

Tahun 1962
Rand Paul Barand, dari perusahaan RAND, ditugaskan untuk mengembangkan suatu sistem jaringan desentralisasi yang mampu mengendalikan sistem pemboman dan peluncuran peluru kendali dalam perang Nuklir.

Tahun 1969
Sistem jaringan yang pertama dibentuk dengan menghubungkan 4 nodes (titik), antara University of California, SRI (Stanford), University California of Santa Barbara, dan University of Utah.dengan kekuatan 50Kbps.

Tahun 1972
Ray Tomlinson menciptakan program e-mail yang pertama

Tahun 1973 - 1990
Istilah INTERNET diperkenalkan dalam sebuah paper mengenai TCP/IP kemudian dilakukan pengembangan sebuah protokol jaringan yang kemudian difkenal dengan nama TCP/IP yang dikembangkan oleh grup dari DARPA, 1981 National Science Foundation mengembangkan Backbone yang disebut CSNET dengan kapasitas 56 Kbps untuk setiap institusi dalam pemerintahan. kemudian pada tahun 1986 IETF mengembangkan sebuah Server yang berfungsi sebagai alat koordinasi diantara; DARPA, ARPANET, DDN dan Internet Gateway.

Tahun 1991- Sekarang

Sistem bisnis dalam bidang IT pertama kali terjadi ketika CERN dalam menanggulangi biaya operasionalnya memungut bayaran dari para anggotanya. 1992 pembentukan komunitas Internet, dan diperkenalkannya istilah World Wide Web oleh CERN. 1993, NSF membentuk InterNIC untuk menyediakan jasa pelayanan Internet menyangkut direktori dan penyimpanan data serta database (oleh AT&T), Jasa Registrasi (oleh Network Solution Inc,), dan jasa Informasi (oleh General Atomics/CERFnet),1994 pertumbuhan Internet melaju dengan sangat cepat dan mulai merambah kedalam segala segi kehidupan manusia dan menjadi bagian yang tidak dapat dipisahkan dari manusia. 1995, Perusahaan umum mulai diperkenankan menjadi provider dengan membeli jaringan di Backbone, langkah ini memulai pengembangan Teknologi Informasi khususnya Internet dan penelitian-penelitian untuk mengembangkan sistem dan alat yang lebih canggih.    

sumber:http://bayubangget.blogspot.com/2007/09/sejarah-teknologi-informasi.html

»»  READMORE...